Vorrei realizzare un secondo piano per questa gabbia per metterci dei furetti.
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Ho acquistato un compensato molto resistente della grandezza della gabbia, ovviamente lo impermeabilizzerò e ricoprirò con della carta plastificata adesiva. Mi date qualche consiglio su come potrei montarlo nella gabbia? (tenendo conto che la gabbia deve essere inserita in uno spazio in cui non posso permettermi che qualcosa sporga eccessivamente da essa).

Certo che lo puoi fare fori il legno poi metti il perno rondella e poi dinuovo rondella e bullone stringi tutto e fatti dare il parere dai furetti

intendi forando il bordo del legno? ma non rischio che si rompa in caso di peso eccessivo?

Quali sono le dimensioni della gabbia? Quali sono le dimensioni del piano
da aggiungere?
Comunque per evitare di avvitarlo sui fianchi, potresti fissare prima sulla rete due listelli di taglio, mettiamo di 20x40 mm, avvitati con viti a legno mettendo esternamente delle rondelle grandi (più della maglia della rete), oppure anche due piattine di ferro zincato che puoi trovare facilmente in ferramenta.

Fatto questo hai due appoggi laterali dove puoi semplicemente appoggiare, o anche fissare stabilmente la tua tavola.
In quest'ultimo caso dovrai mettere le viti dal sopra della tavola, per cui le sarebbe bene incassarle quanto basta. Se invece vuoi che il piano sia esente da fori, anche per un fatto di pulizia, allora puoi usare l'opzione di appoggiare la tavola su delle squadrette che fisserai sui listelli; oppure eliminando i listelli sostituendoli con due profilati a squadra, avvitati alla rete, che faranno d'appoggio al piano.
In tal caso le eventuali viti di bloccaggio della tavola le potrai mettere dal sotto e avrai il piano "pulito".
Poi ci potrebbero essere molte varianti di quest'ultima opzione: 4 squadrette, 2 per parte, fatte a gancio, che potrai agganciare direttamente dentro una maglia della rete. Anche in questo caso le puoi fare appoggiate e via, oppure con i ganci forati per ancorarle in modo stabile alla rete.

Poi basta una vite dal sotto, per squadretta, per bloccare la tua tavola e sei a posto.

Come vedi c'è solamente l'imbarazzo della scelta. Poi, magari, chi vende la gabbia fornisce anche gli accessori per il montaggio di più piani.