Allora,
il pezzo che ti si è staccato, lo "scrocco" esce da una mostrina di metallo che deve essere avvitata sul legno della porta.
Devi cercare sotto gli strati di vernice le viti che fermano questa mostrina e svitarle, ed allo stesso modo svitare le viti che tengono ferme le mostrine tonde delle due maniglie e sfilarle sfilando anche il perno quadrato che va da una maniglia all'altra (in genere è fissata ad una delle due maniglie).
Una volta fatto questo con un cacciavite potrai tirare la mostrina della serratura (quella da cui esce lo scrocco) ed insieme ti verrà fuori anche il meccanismo della serratura.
Quando il meccanismo sarà smontato fai qualche foto e cerchiamo di capire se si può tentare una riparazione, altrimenti si può quasi certamente sostituire.